Wartość bezwzględna......................................................powrót

1. wprowadzenie

2. równania

3. nierówności

4. wykresy

Są różne definicje wartości bezwzględnej (inaczej : modułu). Proponuję przyjąć tę praktyczną.

Wartość bezwzględna z liczby to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej.

Wynika stąd, że obliczona jest nieujemna (czyli dodatnia lub zerowa).

Problem 1 : Oblicz : a) │3│ ; b) │–2│ ; c) │0│ ; d) │–5│.

Ad. a) odpowiadamy sobie na pytanie ,,jak daleko jest 3 od zera na osi ?”. Odpowiedź : o 3. Więc

│3│= 3

Ad. b) jak daleko jest –2 od zera ? Odp. o 2. Więc │–2│= 2

Ad. c) jak daleko jest zero od zera ? Odp. o 0. Więc │0│ = 0

Ad. d) │–5│= 5

Możesz zapamiętać, że gdy liczba między pionowymi kreskami jest dodatnia lub zerowa to wystarczy ,,zgubić ” kreski; a gdy liczba między kreskami jest ujemna to zmieniamy jej znak i ,,gubimy ” kreski.

Z1. Oblicz : a) │2,5│; b) │–99│; c) │–2 + 3│; d) │–1–1│.................................................................cofnij

zrób, zajrzyj

Równania z wartością bezwzględną.

Zostaną tu omówione ,,łatwe” przypadki. To znaczy takie które da się przekształcić do takiej postaci aby

po lewej stronie równania była wart. bezwzględna a po prawej liczba.

Np : a) │2x + 3│= 4 b) │x – 1│= –2 .

,,Trudne” zawierają kilka wartości bezwzględnych lub niewiadome poza wartościami bezwzględnymi lub jedno i drugie na raz. Jeśli kogoś zainteresuje jak zrobić ,,trudne” to da mi znać i może coś na to poradzę.

Problem 2 : Rozwiąż równanie : a) │x│= 4 ; b) │x – 3│= 2 ; c) │x + 1│= –1 ; d) 2 + │2x – 2│= 10

e) 1 –│x – 5│= 0

Równania z wartością bezwzględną (,,łatwe”) rozwiązujemy metodą palca (najlepiej kciuka – bo jest szeroki). Można metodę nazwać ,,palcówką ”.

Jak to robić ? (na matmie inaczej niż w realu) Przedstawię rozwiązując przykłady z problemu 2........................ cofnij

Ad. a) zasłaniamy palcem wszystko to co ,,siedzi” między kreskami; o tak

 i odpowiadamy sobie na pytanie : ,,co może być pod palcem gdy odległość tego od zera to 4 ?” Odp. może tam być 4 lub – 4. Więc to co jest pod palcem to 4 lub – 4 (a pod palcem jest x). Mamy

│x│= 4

x = 4 lub x = – 4 (skończyliśmy)

Ad. b) zasłaniamy wszystko co ,,siedzi” między kreskami; mamy

 i odpowiadamy sobie na pytanie : ,, co może być pod palcem gdy wartość bezwzględna z tego to 2 ?

Odp. może tam być 2 lub –2. Więc to co jest pod palcem to 2 lub –2 (a tam jest x – 3). Otrzymujemy więc :

│x –3│= 2

x – 3 = 2 lub x – 3 = –2

x = 5 lub x = 1 (i już koniec)

Ad. c) zasłaniamy palcem; co pod nim ,,siedzi”, że wartość bezwzględna z tego to –1. Odp. NIC (nie ma takiej liczby z której wart. bezwzględna może być ujemna). Więc :

│x + 1│= –1

brak rozwiązań........................................................................................................................................... cofnij

Ad. d) nie możemy zaczynać rozwiązywać bo równanie nie spełnia kryteriów ,,łatwości”. Przekształcamy go do odpowiedniej postaci.

2 +│2x – 2│= 10

│2x – 2│= 8 a teraz możemy już zasłaniać palcem; ustalamy co jest pod palcem, że wart. bezwz. z tego to 8.

Odp. to 8 lub –8. Więc :

2x – 2 = 8 lub 2x – 2 = –8

2x = 10 lub 2x = – 6

x = 5 lub x = – 3 (skończone)

Ad. e) podobnie jak w punkcie d) trzeba zmienić postać równania

1 –│x – 5│= 0

–│x – 5│= –1│:(–1)

│x – 5│= 1 już możemy zasłaniać palcem; to pod nim to 1 lub –1. Zatem :.................................................. cofnij

x – 5 = 1 lub x – 5 = –1

x = 6 lub x = 4 (koniec)

Z2. Rozwiąż równania : a) │2 – x│= 3 b) 2│x + 7│= 20 c) – 4 +│– x – 1│= 2 d) │3x + 2│– 2 = 0

e)│– x2 –3x + 2│= 2.

zajrzyj

Nierówności z wartością bezwzględną.

Zostaną tu omówione ,,łatwe” przypadki. To znaczy takie które da się przekształcić do takiej postaci aby

po lewej stronie nierówności była wart. bezwzględna a po prawej liczba.

Np : a) │2x + 3│< 4 b) │x – 1│ ≥ 2 .

,,Trudne” zawierają kilka wartości bezwzględnych lub niewiadome poza wartościami bezwzględnymi lub jedno i drugie na raz. Jeśli kogoś zainteresuje jak zrobić ,,trudne” to da mi znać i może coś na to poradzę.

Problem 3 : Rozwiąż nierówność : a) │x│> 4 ; b) │x + 4│< 2 ; c) │x – 5│≤ 1 ; d) 2 + │2x – 2│≥ 12

e) 1 –│5 – x│> 0

Nierówności z wartością bezwzględną (,,łatwe”) rozwiązujemy, tak jak równania, metodą palca.

Jak to robić ? Przedstawię rozwiązując przykłady z problemu 3.

Ad. a) zasłaniamy palcem wszystko to co ,,siedzi” między kreskami; o tak.................................................... cofnij

 i odpowiadamy sobie na pytanie : ,,jakie liczby mogą być pod palcem, że ich odległość od zera na osi jest większa niż 4?” (zwróć uwagę na to, że metoda taka jak przy równaniach ale pytanie nieco zmodyfikowane)Odp. mogą być tam liczby większe od 4 lub liczby mniejsze od – 4. Trzeba oglądać rysunek osi liczbowej aby ustalić słowo z odpowiedzi : lub czy i (zobacz jak zaznaczać przedziały liczbowe).

Na osi zaznaczamy tylko > 4 ; < – 4.Patrzymy na rysunek i gdy widzimy ,,dołek ” (kojarzę go z dołkiem w literze u), to bierzemy do rozważań słowo lub (porównasz zaraz z rysunkiem z punktu b) zadania).

Ponieważ pod palcem był tylko x, to otrzymujemy :

│x│> 4

x > 4 lub x < – 4 (akurat to było już na rysunku – z niego bierzemy odpowiedź)

słowo lub oznacza sumę przedziałów

Odp : x (–; – 4) (4 ; + )..(nawiasy przy liczbach okrągłe bo w nierównościach ,,niepomazane” znaki <,>)

Ad. b) │x + 4│ < 2 po zasłonięciu palcem widzimy │ │< 2 ; odpowiadamy sobie na pytanie : ,,jakie liczby są między kreskami, że ich odległość od zera jest mniejsza od 2 ?” Odp. liczby mniejsze od 2 i większe  od –2.................. cofnij

Słowo i wziąłem z rysunku osi z zaznaczonymi < 2 ; > –2. Patrz :

Na rysunku nie ma ,,dołka” (nie ma więc u),

bierzemy do rozważań słowo i. Ponieważ pod palcem było x + 4, mamy :

x + 4 < 2 i x + 4 > – 2..(te nierówności trzeba rozwiązać; słowo i oznacza iloczyn przedziałów)

x < –2 i x > –6..(radzę narysować to na osi i wziąć iloczyn – część wspólną) Patrz :

Odp : x (–6 ; –2)..(przy liczbach nawiasy okrągłe bo były ,,niepomazane” znaki > ,< )

Ad. c) │x – 5│≤ 1..(po zasłonięciu palcem mamy : │ │≤ 1 ; jakie liczby......aby ich odległość od zera była mniejsza lub równa 1? Odp. ≤ 1 i ≥ –1. (słowo i z osi, patrz : nie było ,,dołka”)

Pod palcem było x – 5, więc mamy :

x – 5 ≤ 1 i x – 5 ≥ –1..(rozwiązać, zaznaczyć na osi, wziąć część wspólną bo i)

x ≤ 6 i x ≥ 4

Odp : x<4; 6>..(nawiasy przy liczbach ,,czubate” bo były ,,pomazane” znaki ≥ ,≤ )

Ad. d) 2 + │2x – 2│≥ 12..(najpierw trzeba doprowadzić przykład do ,,łatwej” postaci)............................................................................................... cofnij

│2x – 2│≥ 12 – 2

.-2x – 2│≥ 10..(zasłaniamy, jakie liczby mają odległość od zera większą lub równą 10 ? Odp. ≥ 10 lub ? – 10)

słowo lub z rysunku

był dołek więc do głowy włazi litera u, a mózg robi lub

Pod palcem było 2x – 2; trzeba rozwiązać nierówności, potem na oś, a na końcu suma przedziałów bo słowo lub.

2x – 2 ≥ 10 lub 2x – 2≤ – 10

2x ≥ 12 lub 2x ≤ – 8

x ≥ 6 lub x ≤ – 4

Odp : x (–; – 4> <6 ; +)..(nawiasy przy liczbach ,,czubate” bo były ,,pomazane” znaki ≥ ,≤ )

Ad. e) 1 –│5 – x│> 0..(przerobić na ,,łatwą” postać).................................................................................. cofnij

–│5 – x│> – 1│∙(– 1)

│5 – x│< 1..(zasłonić, odpowiedzieć na pytanie ,,liczby odległe od zera mniej niż 1? Odp. < 1 i > – 1; słowo i wzięte z rysunku z zaznaczonymi <1 ; > –1 brak tam dołka; rozwiązać nierówności 5 – x < 1 i 5 – x > –1; zaznaczyć na osi; do odpowiedzi wziąć część wspólną)

5 – x <1 i 5 – x > –1

– x < – 4│∙(–1) i – x > – 6│∙(–1)

x > 4 i x < 6

Odp : x(4; 6)..(nawiasy okrągłe bo znaki nierówności <,>)...........................cofnij

 

Z3. Rozwiąż nierówność : a) │2 – x│< 5 b) │3x + 1│≥ 4 c) 2│x +3│≤ 8 d) 3 –│x + 6│< 0.

zajrzyj

Wykresy z wartością bezwzględną.

Będą tu omówione sposoby rysowania ,,łatwych” wykresów. To znaczy takich gdzie w równaniach funkcji wystąpi jedna wartość bezwzględna i nie będzie niewiadomej (x) poza wartością bezwzględną.

Jeśli kogoś zainteresują metody rysowania ,,trudnych” wykresów to się ze mną skontaktuje i może wtedy da się coś na to poradzić.

Problem 4 : Naszkicuj wykres funkcji a) y = │x + 1│– 2 b) y = │–2x + 2│+ 1 c) y = –│–x + 3│–1

d) y =│x2 + 2x│ e) y = –│–x2 + 4x – 3│+ 2

Metoda pozwalająca poradzić sobie z takimi wykresami polega na wykonaniu poszczególnych kroków rysunkowych, aż do uzyskania końcowego wykresu. Kroki te są następujące (szczegółowo zobaczysz jak je stosować w omówionych przykładach) :

1. Rysujemy wykres tego co ,,siedzi” między kreskami. (przypomnij sobie jak rysować linie proste i parabole)

2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy wszystko co było pod osią x

nad oś x).

3. Jeśli przed wartością bezwzględną był minus to wszystko co mamy na rysunku przekładamy ......... cofnij

pod oś x (oczywiście gdy przed wart. bezwz. nic nie ma to nic nie robimy).

4. Jeśli za wartością bezwzględną jest jakaś liczba, to gdy ona jest dodatnia wszystko przesuwamy do góry (o tyle ile ona nam pokazuje), gdy jest ona ujemna przesuwamy wszystko w dół.

Osobiście doradzam aby poszczególne fazy rysowania robić różnymi kolorami (najlepiej na oddzielnych układach współrzędnych). Często oglądałem wykonane ,,wykresy” które z matmą nie miały nic wspólnego, na dodatek nikt nie wiedział gdzie jest końcowy wynik.

Bierzemy się za przykłady z problemu 4.

Ad. a) y =│x + 1│– 2

Krok 1. Rysujemy to co między kreskami, czyli y = x + 1 (to linia prosta)

Krok 2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy to co było pod osią x nad tę oś),

narysowaliśmy wykres funkcji y =│x + 1│....................................................................................cofnij

Krok 3. Ponieważ przed wartością bezwzględną ,,nic” nie ma, to krok 3 nie wymaga pracy.

Krok 4. Za wartością bezwzględną jest liczba –2; trzeba więc wykres z kroku 2 przesunąć w dół o 2.

Otrzymujemy końcowy wynik naszej pracy, czyli wykres funkcji y = │x + 1│– 2...................................... cofnij

Ad. b) y = │–2x + 2│+ 1

Krok 1. Rysujemy to co miedzy kreskami, czyli y = –2x + 2.................................................................. cofnij

Krok 2. Rysujemy to co między kreskami, razem z kreskami, czyli y = │–2x +2│(to spod osi x na górę)

Krok 3. Pomijamy (,,nic” nie ma przed wart. bezwz.).............................................................................. cofnij

Krok 4. Za wart. bezwz. jest +1 (przesuwamy wszystko z kroku 2 o jeden do góry), mamy y =│–2x + 2│+1.

Ad. c) y = –│–x + 3│–1....................................................................................................................... cofnij

Krok 1. y = –x +3

Krok 2. y =│–x + 3│

Krok 3. Ponieważ przed wart. bezwz. jest minus to wykres z punktu 2 przenosimy pod oś x; mamy

y = –│–x + 3│......................................................................................................................................cofnij

Krok 4. y = –│–x + 3│–1..(o jeden w dół wykres z kroku 3)

Ad. d) y =│x2 + 2x│

Krok 1. y = x2 + 2x..(wykresem jest parabola)................................................................................. cofnij

Krok 2. y = │x2 +2x│..(wszystko co jest pod osią x przekładamy nad oś x) I mamy końcowy wynik.

Ad. e) y = –│–x2 + 4x – 3│+ 2.............................................................................................................. cofnij

Krok 1. y = –x2 + 4x –3

Krok 2. y =│–x2 + 4x – 3│

Krok 3. y = –│–x2 + 4x – 3│................................................................cofnij

Krok 4. y = –│–x2 + 4x –3│+ 2

Z4. Narysuj wykres funkcji : a) y = │x – 4│–3 ..b) y = –│2x – 1│+ 2 ..c) y = –│–x + 4│– 1..............................cofnij

d) y =│x2 + 4x│– 2.. e) y = –│–x2 + 2x + 3│+ 3

zajrzyj